Question

【题目】在∠ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝．

（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，若点B恰好是线段MN的中点，求tan∠BAM的值；

（2）如图2，P是边BC延长线上一点，∠APB＝∠BAC，求tan∠PAC的值．

Answer 1

【答案】（1）tan∠BAM＝；（2）tan∠PAC＝．

【解析】

（1）先证明∠M＝∠N＝90°，∠MAB＝∠NBC，那么△AMB∽△BNC，根据相似三角形对应边成比例得出＝tan∠BAC＝．由线段中点的定义可得BM＝BN，然后在Rt△AMB中，利用正切函数的定义即可求出tan∠BAM的值；

（2）过点C作CD⊥AC交AP于点D，过点D作DE⊥BP于点E．根据正切函数的定义得出tan∠BAC＝，tan∠APB＝．而∠APB＝∠BAC，那么可设BC＝x，则AB＝2x，得出BP＝4x，则CP＝3x．同理（1）中，易证∠BAC＝∠ECD，根据等腰三角形的判定与性质得出CE＝EP＝CP＝x．再证明△ABC∽△CED，根据相似三角形对应边成比例得出，然后在Rt△ACD中，利用正切函数的定义即可求出tan∠PAC的值．

（1）如图 1．

∵AM⊥MN，CN⊥MN，

∴∠M＝∠N＝90°，

∴∠MAB+∠ABM＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠NBC+∠ABM＝90°，

∴∠MAB＝∠NBC，

∴△AMB∽△BNC，

∴＝tan∠BAC＝．

∵点B是线段MN的中点

∴BM＝BN，

∴在Rt△AMB中，tan∠BAM＝；

（2）如图2，过点C作CD⊥AC交AP于点D，过点D作DE⊥BP于点E．

∵tan∠BAC＝，∠APB＝∠BAC，

∴tan∠BAC＝，tan∠APB＝．

设BC＝x，则AB＝2x，BP＝4x，则CP＝BP﹣BC＝4x﹣x＝3x．

同理（1）中，可得∠BAC＝∠ECD，

∴∠APB＝∠ECD．

∵DE⊥BP，

∴CE＝EP＝CP＝x．

同理（1）中，可得△ABC∽△CED，

∴，

∴在Rt△ACD中，tan∠PAC＝．