Question

【题目】如图，M、N是边长为6的正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF．

（1）求证：DE＝BE；

（2）判断DE与AM的位置关系，并证明；

（3）判断线段CF是否存在最小值？若存在，求出来，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE⊥AM，见解析；（3）存在最小值，最小值为．

【解析】

（1）证明△DAE≌△BAE（SAS）即可解决问题．

（2）想办法证明∠DAM＝∠EDC即可．

（3）存在最小值．如图，取AD的中点O，连接OF、OC，利用三角形三边关系解决问题即可．

解：（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAE＝BAE，又AE为公共边，

∴△DAE≌△BAE（SAS），

∴DE＝BE．

（2）结论：互相垂直．

理由：：在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，

∵AM＝BN，

∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），

∴∠DAM＝∠CBN

由（1）知DE＝BE，又CD＝CB，CE为公共边，

∴△DCE≌△BCE（SSS），

∴∠CDE＝∠CBE

∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°

∴∠DAF+∠ADF＝90°

∴∠DFA＝180°﹣90°＝90°

即DE⊥AM．

（3）存在最小值．如图，取AD的中点O，连接OF、OC，

则OF＝DO＝AD＝3，

在Rt△OCD中，

OC＝，

根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，

∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值为OC﹣OF＝．