Question

已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与Rt△OAB相似，并直接写出点C的坐标．

Answer 1

分析：根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得PC∥AB，PC∥OA时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似，根据网格结构写出此时点C的坐标即可；
又当PC⊥OB时，分割得到的三角形与Rt△OAB也相似，根据网格结构，利用勾股定理求出OB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长度，再求出AC的长度，从而得到此时点C的坐标．

解答：解：如图，PC∥AB时，△OCP∽△OAB，此时点C的坐标为（3，0），
PC∥OA时，△PCB∽△OAB，此时点C的坐标为（6，4），
PC⊥OB时，△CPB∽△OAB，根据勾股定理得，OB=

62+82

=10，
∵P（3，4）为OB的中点，
∴PB=

1

2

OB=5，
∴

BC

OB

=

PB

AB

，
即

BC

10

=

5

8

，
解得BC=

25

4

，
AC=AB-BC=8-

25

4

=

7

4

，
此时点C的坐标为（6，

7

4

），
综上所述，点C的坐标为（3，0），（6，4），（6，

7

4

）．

点评：本题考查了利用相似变换作图，相似三角形的判定，需要特别注意“PC⊥OB”的情况容易漏掉而导致出错．