Question

19．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，⊙C与AB相切于点D，交⊙O于E、F两点，连接ED并延长交⊙O于G点，连接CG、FG．
（1）求证：GC平分∠EGF；
（2）求证：GD=GF；
（3）若CD=3，求GD•DE的值．

Answer 1

分析 （1）如图，连接CF，由CF=CE，推出$\widehat{CF}$=$\widehat{CE}$，推出∠CGF=∠CGE，即可证明．
（2）作CM⊥GD于M，CN⊥GF于N．先证明△CDM≌△CFN，推出∠CDM=∠CFN，∠GFC=∠GDC，再证明△GCF≌△GCD即可．
（3）如图，连接AC．只要证明AD•DB=DC²，AD•DB=DG•DE即可．

解答 （1）证明：如图，连接CF．
∵CF=CE，
∴$\widehat{CF}$=$\widehat{CE}$，
∴∠CGF=∠CGE，
∴GC平分∠EGF．

（2）证明：作CM⊥GD于M，CN⊥GF于N．
∵∠CGF=∠CGE，
∴CM=CN，
在Rt△CDM和Rt△CNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CF}\\{CM=CN}\end{array}\right.$
∴△CDM≌△CFN，
∴∠CDM=∠CFN，
∴∠GFC=∠GDC，
在△GCF和△GCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CGF=∠CGD}\\{∠CFG=∠GDC}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△GCF≌△GCD，
∴GF=GD．

（3）解：如图，连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴△ACD∽△CMD，
∴CD²=AD•DB，
∵DG•DE=AD•DB，
∴DG•DE=CD²=9．

点评 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．