Question

【题目】如图所示，△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，F是BC边上的动点，E是AC边上的动点，当E、F的位置在何处时，才能使的周长最小？简要说明作法．

Answer 1

【答案】点E、F分别为AC、BC中点时，△DEF的周长最小．

【解析】

分别作点D关于BC、AC的对称点D1、D2，交AC、BC于M、N，连接，分别交AC、BC于点E、F，根据轴对称的性质可得DE=D1E，DF=D2F，DM⊥AC，DN⊥BC，DM=D1M，DN=D2N，D1D2是△DEF的最小值，由等边三角形的性质可得∠B=∠A=60°，可得∠ADM=∠BDN=30°，即可得∠D1DD2=120°，利用ASA可证明△ADM≌△BDN，可得DD2=DD1，根据等腰三角形的性质可得∠D1=∠D2=30°，即可证明∠D1=∠ADM，利用ASA可证明△ADM≌△ED1M，可得AM=EM，可证明AD=AE，即可证明点E为AC的中点，同理可得点F为BC的中点，可得答案．

如图所示，作点D关于AC的对称点D1，作点D关于BC的对称点，交AC、BC于M、N，连接，分别交AC、BC于点E、F，

∴DE=D1E，DF=D2F，DM⊥AC，DN⊥BC，DM=D1M，DN=D2N，

∴DE+DF+EF=D1E+EF+D2F=D1D2，

∴D1D2即是△DEF的最小值，则点E、F即为所求，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=60°，

∴∠ADM=∠BDN=90°-60°=30°，

∴∠D1DD2=180°-30°-30°=120°，

∵点D为AB中点，

∴AD=BD，

在△BDN和△ADM中，，

∴△ADM≌△BDN，

∴DN=DM，

∴DD2=DD1，

∴∠D1=∠D2=30°，

∴∠D1=∠ADM，

在△ADM和△ED1M中，，

∴△ADM≌△ED1M，

∴AM=EM，

∵∠ADM=30°，DM⊥AC，

∴AM=AD，

∴AE=AD，

∴点E为AC中点，

同理可得：点F为BC中点，

∴点E、F分别为AC、BC中点时，△DEF的周长最小．