Question

如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合），AE、AF分别与BD交于P、Q两点．
（1）求证：△ABP∽△ACF，且相似比为1：

2

；
（2）请再在图1中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为1：

2

的非直角三角形的相似三角形；（直接写出）
（3）如图2，当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连接ON，若ON=8，求MQ的长．

Answer 1

分析：（1）∵四边形ABCD是正方形，可以求出∠BAC=∠ABD=45°，

AB

AC

=

1

2

．由已知知道∠MAN=45°，再证明∠3=∠2就可以证明两三角形相似．得到结论．
（2）利用相似三角形的判定方法，两角对应相等的两三角形相似可以找到结论．
（3）作NG⊥PQ于点G，可以证明三角形全等，得到NG=OG=MQ，在Rt△NGO中利用勾股定理求出NG的长，从而求出其解，

解答：（1）证明：∵△NMA是等腰直角三角形，
∴∠NAM=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴

AB

AC

=

1

2

，∠ABO=∠BAO=∠ACF=45°，
∴∠ABO=∠BAO=∠NAM=∠ACF，
∴∠BAO-∠1=∠NAM-∠1，
∴∠3=∠2，
∴△ABP∽△ACF，
∵

AB

AC

=

1

2

，
∴△ABP∽△ACF，且相似比为1：

2

，


（2）解：由相似三角形的判定方法得：△AQD∽△AEC；△APQ∽△AFE．

（3）解：作NG⊥PQ于点G，
∴∠MGQ=90°，
∴∠GNM+∠NMG=90°，
∵∠NMA=90°，
∴∠NMG+∠AMQ=90°，
∴∠GNM=∠AMQ，
∵MQ是BC的中垂线，
∴∠AQM=90°，
∴∠AQM=∠NGM，
∵AM=NM，
∴△NGM≌△MQA，
∴NG=MQ，MG=AQ，
∵AQ=QO，
∴QO=MG，
∴MO+QO=MO+MG，
即MQ=GO，
∴NG=GO，由勾股定理得，GO=4

2

，
∴MQ=4

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用．