Question

13．如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A₁B₁C₁；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A₂B₂C₂；
（3）求△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂重合部分的面积．

Answer 1

分析 （1）将△ABC向右平移2个单位即可得到△A₁B₁C₁．
（2）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A₂B₂C₂．
（3）B₂C₂与A₁B₁相交于点E，B₂A₂与A₁B₁相交于点F，如图，求出直线A₁B₁，B₂C₂，A₂B₂，列出方程组求出点E、F坐标即可解决问题．

解答 解：（1）如图，△A₁B₁C₁为所作；
（2）如图，△A₂B₂C₂为所作；

（3）B₂C₂与A₁B₁相交于点E，B₂A₂与A₁B₁相交于点F，如图，
∵B₂（0，1），C₂（2，3），B₁（1，0），A₁（2，5），A₂（5，0），
∴直线A₁B₁为y=5x-5，
直线B₂C₂为y=x+1，
直线A₂B₂为y=-$\frac{1}{5}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=5x-5}\\{y=x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，∴点E（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=5x-5}\\{y=-\frac{1}{5}x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{13}}\\{y=\frac{10}{13}}\end{array}\right.$，∴点F（$\frac{15}{13}$，$\frac{10}{13}$）．
∴B₂F=$\sqrt{（\frac{15}{13}）^{2}+（\frac{3}{13}）^{2}}$=$\frac{3}{13}$$\sqrt{26}$，EF=$\sqrt{（\frac{9}{26}）^{2}+（\frac{45}{26}）^{2}}$=$\frac{9}{26}$$\sqrt{26}$
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$•B₂F×EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{13}$×$\sqrt{26}$×$\frac{9}{26}$×$\sqrt{26}$=$\frac{27}{26}$．
∴△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂重合部分的面积为$\frac{27}{26}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．