Question

如图，AB为⊙O的直径，劣弧

BC

=

BE

，BD∥CE，连接AE并延长交BD于D．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2cm，AC=3cm，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意得出AB平分CE，由垂径定理得推论得出AB⊥CE，再由BD∥CE，得出BD是⊙O的切线；
（2）连接BE，则∠AEB=90°，在直角三角形中，利用三角函数的定义求得AD，再在Rt△ABD中，由勾股定理得出BD的长．

解答：（1）证明：
∵AB是直径，（1分）
∴AB⊥CE
∵BD∥CE，
∴DB⊥AB，
∴BD是⊙O的切线（3分）

（2）解：连接BE，∵AB为⊙O的直径（4分），
∴∠AEB=90°
∴在Rt△ABE中，cos∠BAE=

AE

AB

∴在Rt△ABD中，cos∠BAD=

AB

AD

，∴

AE

AB

=

AB

AD

（5分）
∴AD=

AB2

AE

=

42

3

=

16

3

∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=

AD2-AB2

=

4 7

3

．

点评：本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．