Question

如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想线段PG与PC之间的位置关系和数量关系，
（2）将题中的“正方形ABCD和正方形BEFG”变为“菱形ABCD和菱形BEFG”，其他条件不变．
①如图2，若∠ABC=∠BEF=60°，试探究线段PG与PC之间的位置关系和数量关系；
②若∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），请你直接写出线段PG与PC之间的位置关系和数量关系（数量关系用含α的式子表示）

Answer 1

解：（1）PG⊥PC，PG=PC．
理由如下：如图1，延长GP交CD于H，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP，
∵正方形ABCD和正方形BEFG的点A、B、E在同一条直线上，
∴DC∥AE∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，∠PHD=∠PGF，
∵在△PDH和△PFG中，

∴△PDH≌△PFG（AAS），
∴PH=PG，DH=FG，
∵CH=CD-DH，CG=BC-BG，BC=CD，
∴CH=CG，
∴△CHG是等腰直角三角形，
∴PG⊥PC，PG=PC；

（2）①如图，延长GP交CD于H，与（1）同理可得PH=PG，CH=CG，
∴△CGH是等腰三角形，
∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠BCD=120°，
∴∠CGP=（180°-120°）=30°，
又∵PH=PG，
∴PG⊥PC，
PC=PG•tan∠CGP=PG•tan30°=PG，
故，PG⊥PC，PC=PG；
②∵∠ABC=∠BEF=2α，
∴∠BCD=180°-2α，
∵△CGH是等腰三角形，
∴∠CGP=[180°-（180°-2α）]=α，
又∵PH=PG，
∴PG⊥PC，
PC=PG•tan∠CGP=PG•tanα，
故PG⊥PC，PC=PG•tanα．
分析：（1）延长GP交CD于H，根据中点的定义可得DP=FP，根据两直线平行，内错角相等可得∠PDH=∠PFG，∠PHD=∠PGF，然后利用“角角边”证明△PDH和△PFG全等，根据全等三角形的可得PH=PG，DH=FG，然后求出CH=CG，再根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）①延长GP交CD于H，与（1）同理求出PH=PG，CH=CG，然后求出△CGH是等腰三角形，然后根据菱形的邻角互补求出∠BCD=120°，再根据等腰三角形的两底角相等求出∠CGP=30°，根据等腰三角形三线合一可得PG⊥PC，再解直角三角形即可得到PC=PG；
②根据菱形的邻角互补求出∠BCD=180°-2a，与①同理求出△CGH是等腰三角形，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠CGP=α，根据等腰三角形三线合一的性质可得PG⊥PC，再解直角三角形即可得到PC=PGtanα．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等，等腰三角形三线合一的性质，以及菱形的性质，熟练掌握各图形的性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，每一小题的求解思路基本相同是此类题目的最大特点．