Question

【题目】如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点均为格点，点为线段上的动点，且满足.

（Ⅰ）当点Q为线段中点时的长度等于________.

（Ⅱ）当线段取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点Q，并简要说明你是怎么画出点Q的：_______.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）取格点，连接，它们相交于点G，取格点.连接，它们相交于点M，连接，取格点.连接并延长，交于点T，连接，交于点Q，则点Q即为所求，见解析.

【解析】

（Ⅰ）先根据勾股定理得出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长度

（Ⅱ）取格点，连接，它们相交于点G，取格点.连接，它们相交于点M，连接，取格点.连接并延长，交于点T，连接，交于点Q，

解：（Ⅰ）在Rt，，

∴AB==5

∵点Q为线段中点

∴；

故答案为：

（Ⅱ）线段取得最小值时，点P,Q必在线段AB的高线的垂足的两侧，并关于垂足对称，即离垂足的距离为0.5.所以先找到点C关于AB的对称点，首先先找垂线，因为AB是3×4的格点矩形的对角线，所以只需过点C作3×4的格点矩形的对角线CH即可满足CH⊥AB垂足为O，下一步找距离相等.可找到D点，构成3×4的格点矩形的对角线CD，则有CD∥AB，且BD=3,同样找到格点N,L使其为3×4的格点矩形的对角线端点，且BN=3，则有LN与CD到AB的距离相等且平行，延长LN则与CH相交R，则交点即为C关于AB的对称点.现要保证OQ=0.5，则只需在LR上找到点T，CD上找到点G，使得RT=CG=1，则四边形RCGT为矩形.因为CD=5，则只需找到CD的五等分点，找到格点E,F，使CF=1，DE=4，且CF∥ED，则CD与EF的交点为G.因为在LR上找的点T不能直接找到，我们可以过点H作AB的平行线HI，并在HI上找到点M使得HM=1，则MG与LR 的交点即为T点，且OT=1.则易找到格点I使得HI∥AB，同E,F的找法，找到格点J,K,连接JK交HI 于点M ，则HM=1，连接MG交LR于点T，再连接TC与AB的交点为Q，则点Q即为所求.