Question

如图，正方形AOCD中，点B是OC上任意一点，以AB为边作正方形ABEF．
①连接DF，求证：∠ADF=90°；
②连接CE，猜想∠ECM的度数，并证明你的结论；
③设点B在线段OC上运动，OB=x，正方形AOCD的面积为16，正方形ABEF的面积为y，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据三角形全等的判定定理，可以证得△AOB≌△ADF，进而得出结论．
（2）过E作CD的垂线，得出所构成的三角形为等边三角形，继而得出所求角的度数为45°．
（3）由正方形AOCD的面积，可以而出边长，又有OB的长，根据勾股定理，得出正方形ABEF的边长，继而求出面积，在边OC上运动，则可得出x的取值范围．

解答：（1）证明：∵正方形AOCD，
∴OA=AD，∠OAD=90°，
∵正方形ABEF，
∴AB=AF，∠BAF=90°，
∴∠OAB=∠DAF，
∴△AOB≌△ADF，
∴∠ADF=∠O=90°．

（2）猜想∠ECM的度数为45°
证明：如图，过E点作EN⊥CD，垂足为N，
∵∠DAF+∠AFD=∠AFD+∠NFE=90°，
∴∠DAF=∠NFE，
在△ADF和△FNE中

∠ADF=∠FNE ∠DAF=∠NFE AF=EF

，
∴△ADF≌△FNE（AAS），
∴FD=EN，AD=FN，
∴CD=FN，
∴FD=CN=EN，
∵EN⊥CD，
∴三角形CEN为等腰直角三角形，
∴∠NCE=45°，
∴∠ECM=45°．

（3）解：∵∠O=90°，
∴AB=

OA2+OB2

，
∵正方形AOCD的面积为16，
∴OA=4，
∴AB²=16+x²，
∴y=16+x²，
∵点B在线段OC上运动，
∴0＜x≤4．

点评：本题考查了矩形的性质，结合了全等三角形的判定和性质，属于综合性的试题．