Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从B点出发沿着BC向C移动，速度为每秒2个单位，动点Q从点C出发沿CD向D出发，速度为每秒1个单位，几秒后由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似？这时线段PQ与AC的位置关系如何？请说明理由．

Answer 1

要使两个三角形相似，由∠B=∠PCQ
∴只要

AB

PC

=

BC

CQ

或者

AB

QC

=

BC

CP

∵AB=6，BC=8
∴只要

PC

CQ

=

6

8

或者

QC

CP

=

6

8

设时间为t
则PC=8-2t，CQ=t
∴t=

32

11

或者t=

12

5

；

①当t=

32

11

时，△ABC∽△PCQ，PQ⊥AC
理由：△ABC∽△PCQ
∴∠BAC=∠CPQ
∵∠BAC+∠ECP=90°，
∴∠EPC+∠ECP=90°
即PQ⊥AC；

②当t=

12

5

，△ABC∽△QCP，AC平分PQ
理由：△ABC∽△QCP
∴∠BAC=∠CQP，∠ACB=∠QPC
∴∠QCE=∠EQC，∠ACB=∠QPC
∴PE=EQ=CE
即AC平分PQ．