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10.已知一次函数y=2x-4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,点P在该函数的图象上,P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2
(1)当P为线段AB的中点时,求d1+d2的值;
(2)直接写出d1+d2的范围,并求当d1+d2=3时点P的坐标;
(3)若在线段AB上存在无数个P点,使d1+ad2=4(a为常数),求a的值.

分析 (1)对于一次函数解析式,求出A与B的坐标,即可求出P为线段AB的中点时d1+d2的值;
(2)根据题意确定出d1+d2的范围,设P(m,2m-4),表示出d1+d2,分类讨论m的范围,根据d1+d2=3求出m的值,即可确定出P的坐标;
(3)设P(m,2m-4),表示出d1与d2,由P在线段上求出m的范围,利用绝对值的代数意义表示出d1与d2,代入d1+ad2=4,根据存在无数个点P求出a的值即可.

解答 解:(1)对于一次函数y=2x-4,
令x=0,得到y=-4;令y=0,得到x=2,
∴A(2,0),B(0,-4),
∵P为AB的中点,
∴P(1,-2),
则d1+d2=3;
(2)①d1+d2≥2;
②设P(m,2m-4),
∴d1+d2=|m|+|2m-4|,
当0≤m≤2时,d1+d2=m+4-2m=4-m=3,
解得:m=1,此时P1(1,-2);
当m>2时,d1+d2=m+2m-4=3,
解得:m=$\frac{7}{3}$,此时P2($\frac{7}{3}$,$\frac{2}{3}$);
当m<0时,不存在,
综上,P的坐标为(1,-2)或($\frac{7}{3}$,$\frac{2}{3}$);
(3)设P(m,2m-4),
∴d1=|2m-4|,d2=|m|,
∵P在线段AB上,
∴0≤m≤2,
∴d1=4-2m,d2=m,
∵d1+ad2=4,
∴4-2m+am=4,即(a-2)m=0,
∵有无数个点,
∴a=2.

点评 此题属于一次函数综合题,涉及的知识有:一次函数与坐标轴的交点,线段中点坐标公式,绝对值的代数意义,以及坐标与图形性质,熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键.

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