分析 (1)先把点B代入y=x+m,求得m的值,求得C的坐标,然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式;
(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y的值,即可求出点M坐标;
(3)设P(-1,t),又因为B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值,即可求出点P的坐标.
解答 解:(1)把B(-3,0)代入y=x+m,
得-3+m=0,m=3,
∴直线的解析式为y=x+3;
∴点C的坐标为(0,3),
∵OC=3OA,
∴点A的坐标为(1,0),
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$,
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;
(2)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴对称轴是直线x=-1,
设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.
把x=-1代入直线y=x+3得,y=2,
∴M(-1,2),
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1,2);
(3)设P(-1,t),又∵B(-3,0),C(0,3),
∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,
①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2
即:18+4+t2=t2-6t+10解之得:t=-2;
②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2
即:18+t2-6t+10=4+t2解之得:t=4,
③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2
即:4+t2+t2-6t+10=18解之得:t1=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$,t2=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$;
综上所述P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1,$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$) 或(-1,$\frac{3-\sqrt{17}}{3}$).
点评 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大,是一道不错的中考压轴题.
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A. | ①② | B. | ③④ | C. | ②④ | D. | ①③ |
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A. | y=-$\frac{3}{x}$ | B. | y=$\frac{3}{x}$ | C. | y=$\frac{6}{x}$ | D. | y=-$\frac{6}{x}$ |
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