Question

如图，两条公路AB，CD（均视为直线）．东西向公路CD段限速，规定最高行驶速度不能越过60千米/时，并在南北向公路离该公路100米的A处没置了一个监测点．已知点C在A的北偏西60°方向上，点D在A的北偏东45°方向上．
（1）经监测，一辆汽车从点C匀速行驶到点D所的时间是15秒，请通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（参考数据：=1.732）
（2）若一辆大货车在限速路上由D处向西行驶，一辆小汽车在南北向公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？

Answer 1

解：（1）由题意知∠BAD=45°，∠CAB═60°，
在Rt△AOD中，OD=OA=100米，在Rt△AOC中，OC=OA=100米，
∴DC=（100+100）米，
实际速度v=≈18.2米/秒=65.52千米/小时＞60千米/小时，
∴超速．

（2）∵两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，
∴当大货车由B开出x米时，小汽车由A开出了2x米，
两车之间的距离S===
∴当x=60时，S取得最小值，为20米．
分析：（1）判断是否超速就是求DC的长，然后比较；
（2）求两车在匀速行驶过程中的最近距离可以转化为求函数的最值问题，或转化为利用配方法求最值的问题．
点评：本题考查解直角三角形的应用，属于实际应用类题目，从复杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类问题的关键．