【题目】如图,正方形ABCD的边长为8,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.
(1)判断四边形EFGH的形状.(直接写结论,不必证明)
(2)设BE=x,四边形EFGH的面积为S,请真接写出S与x的数解析式,并求出S的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)S=2(x﹣4)2+32;最小值为32.
【解析】
(1)由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,证出AH=BE=CF=DG,由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,得出EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE,证出四边形EFGH是菱形,再证出∠HEF=90°,即可得出结论;
(2)根据四边形EFGH面积为S,BE=x,则BF=8-x,由勾股定理得出S=x2+(8-x)2=2(x-4)2+32,S是x的二次函数,容易得出四边形EFGH面积的最小值.
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,
∵AE=BF=CG=DH,
∴AH=BE=CF=DG,
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS),
∴EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE,
∴四边形EFGH是菱形,
∵∠BEF+∠BFE=90°,
∴∠BEF+∠AEH=90°,
∴∠HEF=90°,
∴四边形EFGH是正方形;
(2)设BE=x,四边形EFGH的面积为S,则BF=8﹣x,
根据勾股定理得:EF2=BE2+BF2=x2+(8﹣x)2,
∴S=x2+(8﹣x)2=2(x﹣4)2+32,
∵2>0,
∴S有最小值,
当x=4时,S的最小值=32,
∴四边形EFGH面积的最小值为32.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0)和点B(4,3).
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式.
(2)直接写出该抛物线开口方向和顶点坐标.
(3)直接在所给坐标平面内画出这条抛物线.
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【题目】心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化,开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知,学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB、BC分别为线段,CD为双曲线的一部分):
(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?
(2)一道数学竞赛题,需要讲16分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?
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【题目】某商场经调研得出某种商品每天的利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx﹣75,其图象如图所示.
(1)求a与b的值;
(2)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(参考公式:当x=时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小(大)值)
(3)销售单价定在多少时,该种商品每天的销售利润为21元?结合图象,直接写出销售单价定在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于21元?
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣4,0)和C点(0,﹣4),与x轴另一个交点为B.
(1)求此二次函数的解析式和顶点D的坐标;
(2)求出A、B两点之间的距离;
(3)直接写出当y>﹣4时,x的取值范围.
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【题目】如图,某游乐园有一个滑梯高度AB,高度AC为3米,倾斜角度为58°.为了改善滑梯AB的安全性能,把倾斜角由58°减至30°,调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米?(精确到0.1米)
(参考数据:sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60)
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【题目】已知:如图,一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)
(1)求二次函数的解析式;
(2)求四边形BDEC的面积S;
(3)在x轴上有一动点P,从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动,是否存在点P使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出点P运动的时间t的值,若不存在,请说明理由.
(4)若动点P在x轴上,动点Q在射线AC上,同时从A点出发,点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动,点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动,是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似,若存在,求a的值,若不存在,说明理由.
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【题目】如图,a、b、c是三条公路,且a∥b,加油站M到三条公路的距离相等.(1)确定加油站M的位置.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)一辆汽车沿公路c由A驶向B,行使到AB中点时,司机发现油料不足,仅剩15升汽油,需要到加油站加油,已知从AB中点有路可直通加油站,若AB相距200千米,汽车每行使100千米耗油12升,请判断这辆汽车能否顺利到达加油站?为什么?
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