Question

如图，已知正方形OABC的边长为4，⊙M是以OC为直径的圆，现以O为原点，边OA、OC所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，使点B落在第四象限，一条抛物线经过O、C两点，并将抛物线的顶点记作P.

 （1）求证：；

    （2）当点P同时在⊙M和正方形OABC的内部时，求的取值范围；

    （3）过A点作直线AD切⊙M于点D，交BC于点E.

      ①求E点的坐标；

      ②如果抛物线与直线只有一个公共点，请你判断四边形CMPE的形状，并说明理由.

Answer 1

（1）∵对称轴为直线x=2，

∴b=－4a，     ∴4a+b=0  ；

 （2）    y=ax²－4ax， P(2，－4a)， 

∴－2<－4a<0，∴ 0<a<1/2      

 （3）①设CE=x，Rt△ABE中：4²+(4－x)²=(4+x)²,

∴x=1，∴x=1，∴E(4，－1)  

②只有一个公共点 => a=1/4，

   ∴CMPE为矩形  。