Question

17．矩形ABCD中，AD=5，AB=10，E、F分别为矩形外的两点，BE=DF=4，AF=CE=3，则EF=$\sqrt{221}$．

Answer 1

分析 延长EA交EB的延长线于点M，可证明△EMF是等腰直角三角形，由SSS证明△ADF≌△CBE，得出∠FDA=∠EBC，∠DAF=∠BCE，∵∠FDA+DAF=90°，证出∠M=90°=∠AFD，证明△ADF∽△BAM，得出对应边成比例求出BM、AM，得出ME、MF的长，然后由勾股定理求出EF即可．

解答 解：延长EA交EB的延长线于点M，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，AB=DC=10，∠BAD=90°，
∵BE=DF=4，AF=CE=3，
∴AF²+DF²=AD²=25，
∴△ADF是直角三角形，∠AFD=90°，
同理：△CBE是直角三角形，
∴∠FDA+∠DAF=90°，
∵∠DAF+∠BAM=90°，
∴∠FDA=∠BAM，
同理：∠ECB=∠MBA，
在△ADF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=BE}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\\{AF=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CBE（SSS），∠FDA=∠EBC，∠DAF=∠BCE，
∵∠FDA+DAF=90°，
∴∠BAM+∠MBA=90°
∴∠M=90°=∠AFD，
∴△ADF∽△BAM，
∴$\frac{AF}{BM}=\frac{DF}{AM}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{3}{BM}=\frac{4}{AM}=\frac{5}{10}$，
解得：BM=6，AM=8，
∴MF=AF+AM=11，ME$\sqrt{1{0}^{2}+1{1}^{2}}$═BE+BM=10，
∴EF=$\sqrt{M{E}^{2}+M{F}^{2}}$=$\sqrt{221}$．
故答案为：$\sqrt{221}$．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，是一道非常不错的中考题目，证明出三角形全等和三角形相似是解题的关键．