Question

如图，⊙O是△ABC外接圆，直径AB=12，∠A=2∠B．
（1）∠A=______°，∠B=______°；
（2）求BC的长（结果用根号表示）；
（3）连接OC并延长到点P，使CP=OC，连接PA，画出图形，求证：PA是⊙O的切线．

Answer 1

解：（1）∵∠C=90°，∠A=2∠B，
∴∠A=60°，∠B=30°；

（2）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=30°，
∴AC=AB=65．
∴BC==6；

（3）如图，∵OP=2OC=AB，
∵∠BAC=60°，OA=OC，
∴△OAC为等边三角形．
∴∠AOC=60°．
在△ABC和△OPA中，
∵AB=OP，∠BAC=∠POA=60°，AC=OA，
∴△ABC≌△OPA．
∴∠OAP=∠ACB=90°．
∴PA是⊙O的切线．
分析：（1）不难看出∠C应该是直角，∠A=2∠B，那么这两个角的度数就容易求得了；
（2）直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有三角的度数，BC的值就能求出了；
（3）此题实际上是证明PA⊥AB，由图我们不难得出△AOC是等边三角形，那么就容易证得△ABC≌△OPA，这样就能求出PA⊥AB了．
点评：本题主要考查了解直角三角形的应用和切线的判定等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．