Question

19．如图，坐标系中的正方形A₁OC₁B₁，A₂C₁C₂B₂，A₃C₂C₃B₃，…的一边在x轴上，顶点A₁，A₂，A₃，…在直线y=x+1上．
（1）将下列表格补充完整：

坐标	A1（0，1）	A2（1， 2）	A3（ 3， 4）
正方形边长	A1OC1B1：1	A2C1C2B2： 2	A3C2C3B3： 4

（2）写出第4个正方形的边长，并猜想第n个正方形的边长（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）根据点A₂的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可找出点A₂的坐标，进而即可得出正方形 A₂C₁C₂B₂的边长，再根据正方形的性质可得出点A₃的横坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征即可找出点A₃的坐标，进而即可得出正方形A₃C₂C₃B₃的边长；
（2）根据正方形的性质找出点A₄的横坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征即可找出点A₄的坐标，由此即可得出第4个正方形的边长，设第n个正方形的边长为a_n（n为正整数），根据前4个正方形的边长找出变化规律“a_n=2^n-1”，此题得解．

解答 解：（1）当x=1时，y=2，
∴点A₂的坐标为（1，2），
∴A₂C₁=2，
∴正方形 A₂C₁C₂B₂的边长为2．
∵OC₂=OC₁+C₁C₂=1+2=3，
当x=3时，y=4，
∴点A₃的坐标为（3，4），
∴A₃C₂=4，
∴正方形A₃C₂C₃B₃的边长为4．
故答案为：2；2；（3，4）；4．
（2）∵点A₃的坐标为（3，4），
∴点A₄的横坐标为3+4=7，
当x=7时，y=8，
∴第4个正方形的边长为8．
设第n个正方形的边长为a_n（n为正整数），
观察，发现规律：a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=8，…，
∴a_n=2^n-1．
答：第4个正方形的边长为8，第n个正方形的边长为2^n-1．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据正方形的边长的变化找出变化规律是解题的关键．