精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
4.如图,点G是△ABC的重心,下列结论:①$\frac{DG}{GB}=\frac{1}{2}$;②$\frac{AE}{EB}=\frac{ED}{BC}$;③△EDG∽△CGB;④$\frac{{S}_{四边形AEGD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$.其中正确的个数有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

分析 根据重心的定义得出D是AC的中点,E是AB的中点,DG:BD=1:3,进而得出ED∥BC,得出△AED∽△ABC,△EDG∽△CGB,根据相似三角形的性质得出$\frac{DG}{GB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$,$\frac{AE}{AB}$=$\frac{ED}{BC}$,$\frac{{S}_{ADE}}{{S}_{△ABC}}$=($\frac{ED}{BC}$)2=$\frac{1}{4}$,进而根据S△DEG=$\frac{1}{3}$S△BDE=$\frac{1}{12}$S△ABC,即可求得S四边形AEGD=S△AED+S△DGE=$\frac{1}{4}$S△ABC+$\frac{1}{12}$S△ABC=$\frac{1}{3}$S△ABC,即可求得$\frac{{S}_{四边形AEGD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$,即可得出答案.

解答 解:∵点G是△ABC的重心,
∴D是AC的中点,E是AB的中点,
∵DE∥BC,DE=$\frac{1}{2}$BC,
∴△AED∽△ABC,
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{ED}{BC}$,故②错误;
∵DE∥BC,
∴∠DEG=∠BCG,∠EDG=∠CBG,
∴△EDG∽△CGB,
∴$\frac{DG}{GB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$,故①③正确;
∵点G是△ABC的重心,
∴DG:BD=1:3,
∵AD=DC,
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$S△ABC
∵$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=($\frac{ED}{BC}$)2=$\frac{1}{4}$,
∴S△BDE=$\frac{1}{4}$S△ABC
∴S△DEG=$\frac{1}{3}$S△BDE=$\frac{1}{12}$S△ABC
∴S四边形AEGD=S△AED+S△DGE=$\frac{1}{4}$S△ABC+$\frac{1}{12}$S△ABC=$\frac{1}{3}$S△ABC
∴$\frac{{S}_{四边形AEGD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$,故④正确;
故正确的有①③④,
故选C.

点评 本题综合考查了三角形中位线的性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质,综合性强,难度较大,解答时,需要学生具有综合运用知识的能力.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

14.数轴上与表示数3的点的距离等于3个单位长度的点所表示的数是0或6.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

15.计算:$\root{3}{27}+|{2\sqrt{2}-3}|-(\frac{1}{4}{)^{-2}}$+4sin45°.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

12.小敏想测一棵大树的高度,她站在地面某处测得树梢仰角为30°,再往大树方向前进4米,测得树梢仰角为60°,已知小敏眼睛到地面距离为1.6米,则大树高为2$\sqrt{3}$+1.6米.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

19.有下列结论:
①若a+b+c=0,则abc≠0;
②若a(x-1)=b(x-1)有唯一的解,则a≠b;
③若b=2a,则关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=-$\frac{1}{2}$;
④若a+b+c=1,且a≠0,则x=1一定是方程ax+b+c=1的解;
其中结论正确的个数有(  )
A.4个B.3个C.2个D.1个

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

9.下面是小勋到商店购买2个单价相同的布丁和10根单价相同的棒棒糖的经过.
小勋:我要2个布丁和10根棒棒糖.
老板:好的!这是您要的2个布丁和10根棒棒糖,总共20元!
老板:小朋友,我算错了,我多算2根棒棒糖的钱,退还你2元.
根据上文,判断布丁和棒棒糖的单价相差(  )
A.2元B.3元C.4元D.5元

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

16.先化简,再求值:$\frac{{x}^{2}-1}{x}$÷(1-$\frac{2x-1}{x}$),其中x=$\sqrt{2}$-1.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

13.已知y=mx1-m是反比例函数,则m的值是(  )
A.m≠0B.m>2C.m=1D.m=2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

14.若A=1234567892,B=123456788×123456790,则A>B.(填“<”,“>”,“=”)

查看答案和解析>>

同步练习册答案