A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
分析 根据重心的定义得出D是AC的中点,E是AB的中点,DG:BD=1:3,进而得出ED∥BC,得出△AED∽△ABC,△EDG∽△CGB,根据相似三角形的性质得出$\frac{DG}{GB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$,$\frac{AE}{AB}$=$\frac{ED}{BC}$,$\frac{{S}_{ADE}}{{S}_{△ABC}}$=($\frac{ED}{BC}$)2=$\frac{1}{4}$,进而根据S△DEG=$\frac{1}{3}$S△BDE=$\frac{1}{12}$S△ABC,即可求得S四边形AEGD=S△AED+S△DGE=$\frac{1}{4}$S△ABC+$\frac{1}{12}$S△ABC=$\frac{1}{3}$S△ABC,即可求得$\frac{{S}_{四边形AEGD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$,即可得出答案.
解答 解:∵点G是△ABC的重心,
∴D是AC的中点,E是AB的中点,
∵DE∥BC,DE=$\frac{1}{2}$BC,
∴△AED∽△ABC,
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{ED}{BC}$,故②错误;
∵DE∥BC,
∴∠DEG=∠BCG,∠EDG=∠CBG,
∴△EDG∽△CGB,
∴$\frac{DG}{GB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$,故①③正确;
∵点G是△ABC的重心,
∴DG:BD=1:3,
∵AD=DC,
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$S△ABC,
∵$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=($\frac{ED}{BC}$)2=$\frac{1}{4}$,
∴S△BDE=$\frac{1}{4}$S△ABC,
∴S△DEG=$\frac{1}{3}$S△BDE=$\frac{1}{12}$S△ABC,
∴S四边形AEGD=S△AED+S△DGE=$\frac{1}{4}$S△ABC+$\frac{1}{12}$S△ABC=$\frac{1}{3}$S△ABC,
∴$\frac{{S}_{四边形AEGD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$,故④正确;
故正确的有①③④,
故选C.
点评 本题综合考查了三角形中位线的性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质,综合性强,难度较大,解答时,需要学生具有综合运用知识的能力.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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