如图.在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=a(x+1)2-3与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.顶点为D.对称轴与x轴交于点H.过点H的直线l交抛物线于P.Q两点.点Q在y轴的右侧．(1)求a的值及点A.B的坐标,(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3:7的两部分时.求直线l的函数表达式,(3)当点P位于第二象限时.设PQ的中点为M.点N在抛物线上.则以DP为对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）²-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，-$\frac{8}{3}$），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．
（1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；
（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

分析（1）把点C代入抛物线解析式即可求出a，令y=0，列方程即可求出点A、B坐标．
（2）先求出四边形ABCD面积，分两种情形：①当直线l边AD相交与点M₁时，根据S${\;}_{△AH{M}_{1}}$=$\frac{3}{10}$×10=3，求出点M₁坐标即可解决问题．②当直线l边BC相交与点M₂时，同理可得点M₂坐标．
（3）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）且过点H（-1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．

解答解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，-$\frac{8}{3}$）．
∴a-3=-$\frac{8}{3}$，解得：a=$\frac{1}{3}$，
∴y=$\frac{1}{3}$（x+1）²-3
当y=0时，有$\frac{1}{3}$（x+1）²-3=0，
∴x₁=2，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（2，0）．
（2）∵A（-4，0），B（2，0），C（0，-$\frac{8}{3}$），D（-1，-3）
∴S_{四边形ABCD}=S_△ADH+S_梯形OCDH+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{3}$+3）×1+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{3}$=10．
从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：
①当直线l边AD相交与点M₁时，则S${\;}_{△AH{M}_{1}}$=$\frac{3}{10}$×10=3，
∴$\frac{1}{2}$×3×（-y${\;}_{{M}_{1}}$）=3
∴y${\;}_{{M}_{1}}$=-2，点M₁（-2，-2），过点H（-1，0）和M₁（-2，-2）的直线l的解析式为y=2x+2．
②当直线l边BC相交与点M₂时，同理可得点M₂（$\frac{1}{2}$，-2），过点H（-1，0）和M₂（$\frac{1}{2}$，-2）的直线l的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
（3）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）且过点H（-1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，
∴-k+b=0，
∴b=k，
∴y=kx+k．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{3}{x}^{2}$+（$\frac{2}{3}$-k）x-$\frac{8}{3}$-k=0，
∴x₁+x₂=-2+3k，y₁+y₂=kx₁+k+kx₂+k=3k²，
∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（$\frac{3}{2}$k-1，$\frac{3}{2}$k²）．
假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k-3
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k-3}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，解得：x₁=-1，x₂=3k-1，∴N（3k-1，3k²-3）
∵四边形DMPN是菱形，
∴DN=DM，
∴（3k）²+（3k²）²=（$\frac{3k}{2}$）²+（$\frac{3}{2}{k}^{2}+3$）²，
整理得：3k⁴-k²-4=0，
∵k²+1＞0，
∴3k²-4=0，
解得k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵k＜0，
∴k=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴P（-3$\sqrt{3}$-1，6），M（-$\sqrt{3}$-1，2），N（-2$\sqrt{3}$-1，1）
∴PM=DN=2$\sqrt{7}$，
∵PM∥DN，
∴四边形DMPN是平行四边形，
∵DM=DN，
∴四边形DMPN为菱形，
∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（-2$\sqrt{3}$-1，1）．

点评本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会利用参数解决问题，用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

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