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20.如图,已知四边形ABCD是矩形,延长AB至点F,连结CF,使得CF=AF,过点A作AE⊥FC于点E.
(1)求证:AD=AE.
(2)连结CA,若∠DCA=70°,求∠CAE的度数.

分析 (1)由等腰三角形的性质和矩形的性质证出∠FCA=∠DCA,由AAS证明△ADC≌△CAE,即可得出结论;
(2)由全等三角形的性质得出∠CAE=∠CAD,求出∠CAD=90°-∠DCA=20°,即可得出答案.

解答 (1)证明:连接AC,如图所示:
∵CF=AF,∴∠FCA=∠CAF,
∵四边形ABCD是矩形,∴DC∥AB∴,∠DCA=∠CAF,
∴∠FCA=∠DCA,
∵AE⊥FC,
∴∠CEA=90°,
∴∠CDA=∠CEA=90°,
在△ADC和△CAE 中,$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠CEA}&{\;}\\{∠DCA=∠FCA}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△ADC≌△CAE (AAS),
∴AD=AE;
(2)解:∵△ADC≌△CAE,
∴∠CAE=∠CAD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=90°,
∴∠CAD=90°-∠DCA=90°-70°=20°,
∴∠CAE=20°.

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质,矩形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识;熟练掌握矩形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.

练习册系列答案
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A.2019B.2017C.2018D.-2017

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8.解方程:(1)$\frac{3}{x+2}$=$\frac{1}{x+1}$;
              (2)$\frac{x-8}{x-7}$-$\frac{1}{7-x}$=8.

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15.(1)先化简,再求值:1-$\frac{9}{{{{(a-3)}^2}}}$]÷$\frac{a-6}{a-3}$+$\frac{3}{a-3}$,其中a=$\sqrt{3}$.
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5.如图所示,某小区一栋新建住宅楼AB正前方有一栋高度是10米的旧楼房ED,从新楼顶端A处测得在其正前方的旧楼的顶端E的仰角是30°,旧楼底端D到新楼前梯坎底边的距离DC是10$\sqrt{3}$米,梯坎坡长BC是8米,梯坎坡度i=1:$\sqrt{3}$,春节期间居委会想在AE之间悬挂一条彩带来烘托节日气氛,求这条彩带的长度和新建住宅楼AB的高度.

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12.新学期开学了,文具店张经理购进100只两种型号的文具进行销售,其进价和售价之间的关系如下表:
型号进价(元/只)售价(元/只)
A型1012
B型1523
(1)张经理如何进货,才能使进货款恰好为1300元?
(2)要使销售文具所获利润最大,且所获利润不超过进货价格的40%,请你帮张经理设计一个进货方案,并求出其所获利润的最大值.

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9.某工厂甲、乙两人加工同一种零件,每小时甲比乙多加工10个这种零件,甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等,
(1)甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件?
(2)该工厂计划加工920个零件,甲参与加工这批零件不超过12天,则乙至少加工多少天才能加工完这批零件?

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4.PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据PM2.5检测网的空气质量新标准,从南京市2016年全年每天的PM2.5日均值标准值(单位:微克/立方米)监测数据中随机地抽取25天的数据作为样本,并根据检测数据制作了尚不完整的频数分布表和条形图:
 空气质量等级 PM2.5日均值标准值 频数 频率
 优 0-35 1 0.04
 良 35-75 m 0.2
 轻度污染 75-150 11 0.44
 中度污染 150-200 5 0.2
 重度污染 200-300 n a
 严重污染 大于300 1 0.04
(1)求出表中m,n,a的值,并将条形图补充完整;
(2)以这25天的PM2.5日均值来估计该年的空气质量情况,估计该年(365天)大约有多少天的空气质量达到优或良.

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