Question

9．长为1，宽为a的矩形纸片（0＜a＜$\frac{1}{2}$），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽．当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，矩形的长为1，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为1-a，a．由1-a＜a可知，第二次操作时所得正方形的边长为1-a，剩下的矩形相邻的两边分别为1-a，a-（1-a）=2a-1．由于（1-a）-（2a-1）=2-3a，所以（1-a）与（2a-1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值．

解答 解：由题意，可知当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1-a，所以第二次操作时正方形的边长为1-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a，2a-1．此时，分两种情况：
①如果1-a＞2a-1，即a＜$\frac{2}{3}$，那么第三次操作时正方形的边长为2a-1．
∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，
∴矩形的宽等于1-a，
即2a-1=（1-a）-（2a-1），解得a=$\frac{3}{5}$；
②如果1-a＜2a-1，即a＞$\frac{2}{3}$，那么第三次操作时正方形的边长为1-a．
则1-a=（2a-1）-（1-a），解得a=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了翻折的性质和正方形的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是分两种情况：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．分别求出操作后剩下的矩形的两边．