Question

（2013•邯郸一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的两个顶点分别落在坐标轴上，且点A（0，2）、点B（1.0），抛物线y=ax²-ax-2经过点C．
（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴于AB的交点为M，求△ACM的面积；
（3）若将△ABC沿AB翻折，点C是否恰好落在该抛物线上？写出验证过程；若将△ABC沿BC翻折，点A是否恰好落在该抛物线上？直接写出结果．

Answer 1

分析：（1）过C点作 CE⊥x轴与点E，通过已知条件求出CE和OE的长即可求出点C的坐标，再代入y=ax²-ax-2求出a的值则可求出抛物线的解析式；
（2）设对称轴交x轴于点F，交AB于点M，易求出F点的坐标，并且得到M是AB中点，所以△ACM的面积是△ABC面积的一半，问题得解；
（3）设△ABC沿AB翻折后得到△ABD，过点D作DM⊥x轴，求出D点的坐标再代入二次函数的解析式即可验证点C是否恰好落在该抛物线上，用一样的方法即可验证，点A是否恰好落在该抛物线上．

解答：解：（1）过C点作 CE⊥x轴与点E，（如图1）
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC∠ABC=90°，
在Rt△AOB中∠OAB+∠ABO=90°，
∵∠ABO+∠CBE=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠CEB=∠AOB=90°，
∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO，CE=OB，
∵A（0，2）B（1，0），
∴AO=2，BO=1，
∴BE=2，CE=1，
∴OE=3，
∴C（3，1），
带入 y=ax²-ax-2图象上，
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²-

1

2

x-2；
（2）∵y=

1

2

x²-

1

2

x-2；（如图2）
∴抛物线对称轴为x=

1

2

，
设对称轴交x轴于点F，交AB于点M，
∴点F的坐标为（

1

2

，0），
∴点F是OB的中点，
∵MF∥y轴，
∴M是AB的中点，
∵在Rt△AOB中，AB=

22+12

=

5

，
∴S_△ACM=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×

5

×

5

=

5

4

，

（3）设△ABC沿AB翻折后得到△ABD，
过点D作DM⊥x轴，如图（3），
∵BD=BC，∠MBD=∠EBC，∠DMB=∠CEB=90°，
∴△DBM≌△CBE，
∴BM=BE=2，DM=CE=1，
∴D（-1，-1），经检验点D在抛物线y=x²-x-2上，
∴点C是否恰好落在该抛物线上，
同样的方法可知：将△ABC沿BC翻折，点A不在该抛物线上．

点评：本题考查了确定二次函数解析式的方法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用和三角形的面积公式的运用等知识点，题目的综合性很强，难度中等．