Question

已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S_△AOB=4，S_△COD=9，则四边形ABCD的面积S_{四边形ABCD}的最小值为（　　）

• A、21
• B、25
• C、26
• D、36

Answer 1

分析：分别表示出△AOD、△BOC的面积，即可得到四边形ABCD的面积表达式，然后利用换元法结合不等式的性质来求得四边形ABCD的最小面积．

解答：解：设点A到边BD的距离为h．
如图，任意四边形ABCD中，S_△AOB=4，S_△COD=9；
∵S_△AOD=

1

2

OD•h，S_△AOB=

1

2

OB•h=4，
∴S_△AOD=OD•

4

OB

=4×

OD

OB

，S_△BOC=OB•

9

OD

=9×

OB

OD

；
设

OD

OB

=x，则S_△AOD=4x，S_△BOC=

9

x

；
∴S_{四边形ABCD}=4x+

9

x

+13≥2

4x

•

9 x

+13=12+13=25；
故四边形ABCD的最小面积为25．
故选B．

点评：此题主要考查了三角形面积的求法、不等式的性质等知识，需要识记的内容有：
不等式的性质：a²+b²-2ab=（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab．（即算术平均数与几何平均数的关系）