Question

13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P在DC上．
（1）求证：AP⊥BP；
（2）若∠D=90°，则AB、AD、BC之间有何数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC就可以得出∠DAB+∠ABC=180°，由角平分线的性质就可以得出∠PAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠ABP=$\frac{1}{2}$∠ABC，就可以求出∠APB=90°而得出结论；
（2）延长AP、BC相交于点F，则△ADP≌△PCF，就有CF=AD，AP=PF，由BP⊥AF得出AB=BF，进而得出AB=AD+BC．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴∠PAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠ABP=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠PAB+∠ABP=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BP；
（2）延长AP、BC相交于点F，

AB=AD+BC．
理由：∵P是CD的中点，
∴CP=DP．
∵AD∥BC，
∴∠D=∠PCF，∠DAP=∠F．
在△ADP和△FCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠PCF}\\{∠DAP=∠F}\\{DP=PC}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△FCP（AAS），
∴AP=PF，CF=AD．
∵BP⊥AF，
∴AB=BF．
∵BF=BC+CF，
∴BF=BC+AD，
∴AB=BC+AD．

点评 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，垂直的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．