Question

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为3，6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．

Answer 1

分析 根据题意分四种情况，针对每种情况画出相应的图形，求出相应的时间t的值即可解答本题．

解答 解：由题意可得，
第一种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴CP=6cm，
∴t=6÷2=3秒；
第二种情况：当CP=PA时，△ACP是等腰三角形，如右图2所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴AB=10cm，∠PAC=∠PCA，
∴∠PCB=∠PBC，
∴PA=PC=PB=5cm，
∴t=（CB+BP）÷2=（8+5）÷2=6.5秒；
第三种情况：当AC=AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴AP=6cm，AB=10cm，
∴t=（CB+BA-AP）÷2=（8+10-6）÷2=6秒；



第四种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示，
作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，tan∠A=$\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}$=$\frac{CD}{AD}$，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{4}{3}$，AB=10cm，
设CD=4a，则AD=3a，
∴（4a）²+（3a）²=6²，
解得，a=$\frac{6}{5}$，
∴AD=3a=$\frac{18}{5}$，
∴AP=2AD=7.2cm，
∴t=$\frac{8+10-7.2}{2}$=5.4s，
故答案为：3，6或6.5或5.4．

点评 本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．