Question

20．已知AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E．

（1）如图1，若CD⊥AB，求证：BD=AC•tan∠D；
（2）如图2，若OE=BE=2，CE＜DE，sin∠DCO=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，求tan∠DEA的值．

Answer 1

分析 （1）连接BC，AD，由垂径定理可得△ACD为等腰三角形，由CD⊥AB，得∠CAB=∠DAB，由圆周角定理可得，BC=BD，∠A=∠D，tan∠D=tan∠A，在直角三角形ABC中证可解得结论．
（2）过点O作OM⊥CD交CD于点M，由OE=BE=2，可得OB=OC=4，因为sin∠DCO=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，可得OM，利用勾股定理可得EM的长，由锐角三角函数定义可得结果．

解答 （1）证明：如图1，连接BC，AD，
∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴∠CAB=∠DAB，∠ACB=90°，
∴BC=BD，∠A=∠D，
在直角三角形ABC中，
BC=AC．tan∠A，
∴BD=AC•tan∠A；

（2）解：如图2，过点O作OM⊥CD交CD于点M，连接OC，
∵OE=BE=2，
∴OB=OC=4，
∵sin∠DCO=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
在直角△OCM中，OM=CO•sin∠DCO=4×$\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
在直角△OEM中，EM=$\sqrt{{OE}^{2}{-OM}^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{15}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠DEA=$\frac{OM}{EM}$=$\sqrt{15}$．

点评 本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，数形结合，作出合适的辅助线，构建直角三角形是解答此题的关键．