Question

【题目】如图，正方形ABCD中，DE=2AE=4， F是BE的中点，点H在CD上，∠EFH=45°,则FH的长度为________．

Answer 1

【答案】

【解析】过B作BN∥FG交DC于G，连接EN．把△ABE绕B顺时针旋转90°得到△BCH．

由BN∥FG，得到∠EBN=∠EFH=45°，故∠ABE+∠NBC=45°．

由旋转的性质得到△ABE≌△CBG，进而得到∠ABE=∠CBG，BE=BG，AE=CG，得到∠EBN=∠GBN．从而可以证明△EBN≌△GBN，得到EN=NG．

设NC=x，则EN=NG=x+2，DN=6-x．在Rt△EDN中，用勾股定理得到x=3， DN=NC，由EF=FB，得到FN是梯形EBCD的中位线，由梯形中位线定理得到FN的长．

通过证明△FHN∽△BNC，得到HN的长．在Rt△FNH中，由勾股定理即可得到结论．

过B作BN∥FG交DC于G，连接EN．把△ABE绕B顺时针旋转90°得到△BCH．

∵正方形ABCD中，DE=2AE=4，∴AE=2，∴AB=BC=CD=DA=6．

∵∠EFH=45°，BN∥FG，∴∠EBN=∠EFH=45°，∴∠ABE+∠NBC=45°．

∵△ABE≌△CBG，∴∠ABE=∠CBG，BE=BG，AE=CG，∴∠NBG=45°，∴∠EBN=∠GBN．

在△EBN和△GBN中，∵BE=BG，∠EBN=∠GBN，BN=BN，∴△EBN≌△GBN，∴EN=NG．

设NC=x，则EN=NG=x+2，DN=6-x．在Rt△EDN中，∵，∴，解得：x=3，∴DN=NC．

∵EF=FB，∴FN是梯形EBCD的中位线，∴FN=(ED+BC)÷2=（4+6）÷2=5．

∵FH∥BN，∴∠FHN=∠BNC．

∵FN∥BC，∴∠FNH=∠BCN=90°，∴△FHN∽△BNC，∴FN：BC=HN：NC，∴5：6=HN：3，∴HN=2.5，∴FH===．

故答案为：．