Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．

（1）如图1，求证：KE=GE；

（2）如图2，若AC∥EF，试判断线段KG、KD、GE间的数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）KG2=KDGE，见解析；（3）

【解析】

（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；

（2）如图2，根据平行得角相等，证明△GKD∽△EFG，列比例式可得结论；

（3）如图3所示，连接OG，OC，由（1）得KE=GE，根据sinE，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，列式先求t的值，再求出圆的半径．

（1）如图1，连接OG．

∵EG为切线，

∴∠KGE+∠OGA=90°．

∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°．

又∵OA=OG，

∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，

∴KE=GE．

（2）KG2=KDGE．理由如下：

连接GD，如图2．

∵AC∥EF，

∴∠C=∠E．

∵∠C=∠AGD，

∴∠E=∠AGD．

∵∠GKD=∠GKD，

∴△GKD∽△EKG，

∴，

∴KG2=KDEK，

由（1）得：EK=GE，

∴KG2=KDGE；

（3）连接OG，OC，如图3所示，

由（1）得：KE=GE．

∵AC∥EF，

∴∠E=∠ACH．

∵sinE=sin∠ACH，

设AH=3t，则AC=5t，CH=4t．

∵KE=GE，AC∥EF，

∴CK=AC=5t，

∴HK=CK﹣CH=t．

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即(3t)2+t2，解得：t．

设⊙O半径为r．在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，

即(r﹣3t)2+(4t)2=r2，解得：rt，

答：⊙O的半径为．