Question

2．如图，△ABC中，∠C=90°．
（1）在BC边上作一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AC=4，BC=3，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）作∠BAC的平分线交BC于P点，则点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等；
（2）作PD⊥AB于点，如图，根据角平分线性质得PD=PC，则可证明Rt△ADP≌Rt△ACP得到AD=AC=4，再利用勾股定理计算出AB=5，则BD=1，设PC=x，则PD=x，BP=3-x，在Rt△BDP中，利于勾股定理得（3-x）²=x²+1²，然后解方程即可．

解答 解：（1）如图，点P即为所求；
（2）作PD⊥AB于点，如图，
∵AP平分∠CAB，PD⊥AB于D，∠C=90°，
∴PD=PC．
在Rt△ADP和Rt△ACP中
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴AD=AC=4，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
，∴BD=5-4=1，
设PC=x，则PD=x，BP=3-x，
在Rt△BDP中，∵PD²+BD²=PB²，
∴（3-x）²=x²+1²，解得x=$\frac{4}{3}$．
答：CP的长为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理．