Question

阅读下面材料：
镜面对称：镜前的物体与其在镜中的像关于镜面对称
①如图1，如果桌面上有一个用火柴摆出的等式，而你从前方墙上的镜子中看见的是如下式子：
那么你能立即对桌面上等式的正确性做出判断吗？

 

②如图2，镜前有黑、白两球，据说如果你用白球瞄准红球在镜中的像，击出的白球就能经镜面反弹击中黑球．你能说出其中的道理吗？

 

如果你有两面互相垂直的镜子，你想让击出的白球先后经两个镜面反弹，然后仍能击 中黑球，那么你应该怎样瞄准？请仿照图3画出白球的运动的路线图．
③请利用轴对称解决下面问题：
如图4，在正方形ABCD中，AB=4cm，点P是AC上一动点，E是DC的中点，PD+PE的最小值为

 

cm．

Answer 1

分析：①根据镜面对称原理即可判断答案；
②根据镜面对称就是轴对称关于镜面对称，把物体沿对称轴旋转180°推出即可；
③连接BD交AC于O，连接BE交AC于P，连接PD，PD+PE最小，假如取任意一点S，连接SD、SB，SE，根据对称性质证出DS+SE＞DP+PE即可，在三角形BCE中根据勾股定理求出BE的长即可．

解答：解：①正确，
桌面上算式是152-20=132，
故答案为：正确．
②根据镜面对称就是轴对称关于镜面对称，把物体沿对称轴旋转180°，
例子就是：物体和物体的像关于水面对称，把物体沿水面旋转180°，即用白球瞄准红球在镜中的像，击出的白球就能经镜面反弹击中黑球，
故答案为：物体和物体的像关于水面对称，把物体沿水面旋转180°，即用白球瞄准红球在镜中的像，击出的白球就能经镜面反弹击中黑球．
②
解：作白球A关于镜面ON的对称点C，作黑球B关于镜面OM的对称点D，连接CD交ON于E，交OM于F，连接AE、BF，
延AE-EF-FB线瞄准，击出的白球先后经两个镜面反弹，仍能击中黑球，
答：延AE-EF-FB线瞄准，击出的白球先后经两个镜面反弹，仍能击中黑球．

③连接BD交AC于O，连接BE交AC于P，连接PD，则此时PD+PE最小，
理由是假如取任意一点S，连接SD、SB，SE，
∵正方形ABCD，
∴OD=OB，BD⊥AC，
∴PD=PB，DS=BS，
∴SD+SE=SE+SB，
PD+PE=PB+PE=BE，
∵BS+SE＞BE，
∴DS+SE＞DP+PE，
即PD+PE最小，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，BC=4，CE=

1

2

×4=2，
由勾股定理得：BE=

BC2+CE2

=2

5

，
∵正方形ABCD，
∴OD=OB，BD⊥AC，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE=2

5

．
故答案为：2

5

．

点评：本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，镜面对称，轴对称-最短路线问题等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行画图和推理是解此题的关键．