Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

3

4

x+6与x、y轴分别交于点A，点B，双曲线的解析式为y=

k

x

（1）求出线段AB的长；
（2）在双曲线第四象限的分支上存在一点C，使得CB⊥AB，且CB=AB，求k的值；
（3）在（1）（2）的条件下，连接AC，点D为BC的中点，过D作AC的垂线EF，交AC于E，交直线AB于F，连AD，若点P为射线AD上的一动点，连接PC、PF，当点P在射线AD上运动时，PF²-PC²的值是否发生改变？若改变，请求出其范围；若不变，请证明并求出定值．

Answer 1

分析：（1）首先求出图象与坐标轴交点坐标，进而得出AO，OB的长，即可利用勾股定理求出AB的长；
（2）首先作CD⊥y轴于点D，求出∠BAO=∠CBD，再利用△ABO≌△BDC，进而得出C点坐标，即可得出k的值；
（3）首先连接FC交AP于M，利用△ABD≌△CBF（SAS），得出∠BAD=∠DCM，进而利用勾股定理求出PF ²-PC²=DF²-CD²，求出即可．

解答：解：（1）由y=

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x+6与x、y轴分别交于点A，点B，
得：x=0时，y=6，y=0时，x=-8，
故A（-8，0），B（0，6），
∴AO=8，OB=6，
∴AB=

62+82

=10；

（2）作CD⊥y轴于点D，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∠CBO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∵在△ABO和△BDC中，

∠BOA=∠BDC OAB=∠CBD AB=BC

，
∴△ABO≌△BDC（AAS），
∴CD=OB=6，BD=OA=8，
∴OD=BD-OB=8-6=2，
∴C（6，-2），
∴k=6×（-2）=-12；

（3）连接FC交AP于M，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠BDF=∠EDC=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BFD=∠BDF=45°，
∴BD=BF，
∵在△ABD和△CBF中，

BF=BD ∠CBF=∠ABD BC=BA

，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴∠BAD=∠DCM，
∴∠DMC=∠ABD=90°，
∴PF ²-PC²=（FM²+MP²）-（CM²+MP²）
=FM²-CM²
=（DF²-DM²）-（CD²-DM²）
=DF²-CD²，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD=5，
∴BF=5，
∴DF=

52+52

=5

2

，
∴PF ²-PC²=（5

2

）²-5²=25．

点评：此题主要考查了反比例函数综合应用以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出△ABD≌△CBF是解题关键．