Question

【题目】某小区在一块矩形ABCD的空地上划一块四边形MNPQ进行绿化，为了绿化环境又节省成本．如图，已知矩形的边BC＝200m，边AB＝a m(a为不大于200的常数)，四边形MNPQ的顶点在矩形的边上，且AM＝BN＝CP＝DQ＝x m，设四边形MNPQ的面积为S m2

(1)求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)若a＝120，求S的最小值，并求出此时x的值；

(3)若a＝200，且每平方米绿化费用需50元，则此时绿化最低费用为______万元．

Answer 1

【答案】(1)S=2x2-(a+200)x+200a，自变量x的取值范围是0<x<a；(2)a＝120，S的最小值是11200，此时x的值是80；(3)100．

【解析】

（1）根据四边形MNPQ的面积等于矩形ABCD的面积减去四个直角三角形的面积即可求得S关于x的函数关系式，根据题意直接确定x的取值范围即可；（2）把a=120代入解析式，再利用二次函数求最值得方法解答即可；（3）把a=200代入解析式，再利用二次函数求最值得方法求得S的最小值，再计算最低费用即可.

解：(1)由题意可得，

S=200a-=2x2-(a+200)x+200a(0<x<a)

即S关于x的函数关系式是S=2x2-(a+200)x+200a，自变量x的取值范围是0<x<a.

(2)当a＝120时，

S＝2x2﹣320x+200×120＝2(x﹣80)2+11200，

∴x＝80时，S取得最小值，此时，S＝11200，

即a＝120，S的最小值是11200，此时x的值是80；

(3)当a＝200时，

S＝2x2﹣(200+200)x+200×200＝2(x﹣100)2+20000，

∴当x＝100时，S取得最小值，此时S＝20000，

20000×50＝1000000(元)＝100(万元)，

即此时绿化最低费用为100万元，

故答案为：100．