Question

如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C（1，

1

2

）处，两直角边分别与x，y轴平行，纸板的另两个顶点A，B恰好是直线y=kx+

9

2

与双曲线y=

m

x

（m＞0）的交点．
（1）用m的代数式表示点A，B的坐标；
（2）求直线和双曲线的表达式；
（3）设双曲线y=

m

x

（m＞0）在A，B之间的部分为L，让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB交于M，N两点，请探究是否存在点P使得MN=

1

2

AB？若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,根的判别式,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）由条件可得到点A的横坐标、点B的纵坐标，然后代入双曲线的解析式就可解决问题；
（2）只需将（1）中点A和点B的坐标代入直线的解析式就可求出k和m，从而解决问题；
（3）可使用反证法，假设存在点P，使得MN=

1

2

AB．易证△MPN∽△ACB，根据相似三角形的性质可得PN=

7

2

．设点P的坐标为（a，

4

a

），则有点N（a+

7

2

，

4

a

），将点N的坐标代入直线的解析式，整理得2a²-11a+16=0，然后运用根的判别式可以判断该方程无实数解，因而假设不成立，从而解决问题．

解答：解：（1）∵AC∥y轴，BC∥x轴，C（1，

1

2

），
∴x_A=x_C=1，y_B=y_C=

1

2

．
∵点A、B都在双曲线y=

m

x

（m＞0）上，
∴点A（1，m），点B（2m，

1

2

）；

（2）将点A（1，m）和点B（2m，

1

2

）代入y=kx+

9

2

，得：
m=k+

9

2

，

1

2

=2mk+

9

2

，
将m=k+

9

2

代入

1

2

=2mk+

9

2

，
解得：k₁=-4，k₂=-

1

2

．
当k=-4时，m=

1

2

（舍去）；
当k=-

1

2

时，m=4．
则直线的解析式为y=-

1

2

x+

9

2

，双曲线的解析式为y=

4

x

．

（3）不存在点P，使得MN=

1

2

AB．
理由：假设存在点P，使得MN=

1

2

AB．
由（2）可知B（8，

1

2

）．
∵C（1，

1

2

），
∴BC=7．
∵MP∥AC∥y轴，PN∥BC∥x轴，
∴∠PMN=∠CAB，∠PNM=∠CBA，
∴△MPN∽△ACB，
∴

PN

CB

=

MN

AB

=

1

2

，
∴PN=

7

2

．
设双曲线y=

4

x

（x＞0）上点P的坐标为（a，

4

a

），
则点N（a+

7

2

，

4

a

），
将点N（a+

7

2

，

4

a

）代入y=-

1

2

x+

9

2

，得：

4

a

=-

1

2

（a+

7

2

）+

9

2

，
整理得：2a²-11a+16=0，
∵△=（-11）²-4×2×16=-7＜0，
∴方程没有实数根．
故假设不成立，
因而不存在点P，使得MN=

1

2

AB．

点评：本题主要考查了直线及双曲线上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、根的判别式等知识，运用反证法是解决第（3）小题的关键．