Question

正方形ABCD中，以B为端点在正方形外作等腰直角△BEF，∠BEF=90°，连接DF，取DF的中点G，并连接EG、CG．求证：EG=CG，EG⊥CG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，易证△EFG≌△HDG，可得DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，即可求得∠EBC=∠HDC，即可证明△EBC≌△HDC，可得CE=CH，∠BCE=∠DCH，即可证明△ECH是等腰直角三角形，根据G为EH的中点，即可解题．

解答：证明：延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，

在△EFG和△HDG中，

GF=GD ∠FGE=∠DGH EG=HG

，
∴△EFG≌△HDG（SAS）．
∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG．
∴EF∥DH．
∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4．
∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC．
在△EBC和△HDC中，

BE=DH ∠EBC=∠HDC BC=CD

，
∴△EBC≌△HDC（SAS），
∴CE=CH，∠BCE=∠DCH．
∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°．
∴△ECH是等腰直角三角形，
∵G为EH的中点，
∴EG⊥GC，EG=GC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，考查了等腰直角三角形的判定和性质，本题中求证△EBC≌△HDC是解题的关键．