Question

【题目】如图（1），为等腰三角形，，点是底边上的一个动点，，.

（1）用表示四边形的周长为　　；

（2）点运动到什么位置时，四边形是菱形，请说明理由；

（3）如果不是等腰三角形图（2），其他条件不变，点运动到什么位置时，四边形是菱形（不必说明理由）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当为中点时，四边形是菱形，见解析；（3）P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形,理由见解析.

【解析】

（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠B=∠DPB，∠C=∠EPC，进而可得DB=DP，PE=EC，从而可得四边形ADPE的周长=AD+DP+PE+AE=AB+AC；

（2）当P运动到BC中点时，四边形ADPE是菱形；首先证明四边形ADPE是平行四边形，再证明DP=PE即可得到四边形ADPE是菱形；

（3）P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，首先证明四边形ADPE是平行四边形，再根据平行线的性质可得∠1=∠3，从而可证出∠2=∠3，进而可得AE=EP，然后可得四边形ADPE是菱形．

(1)∵PD∥AC,PE∥AB，

∴∠DPB=∠C，∠EPC=∠B，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠B=∠DPB，∠C=∠EPC，

∴DB=DP，PE=EC，

∴四边形ADPE的周长是：AD+DP+PE+AE=AB+AC=2a；

(2)当P运动到BC中点时，四边形ADPE是菱形；

∵PD∥AC,PE∥AB，

∴四边形ADPE是平行四边形，

∴PD=AE，PE=AD，

∵PD∥AC,PE∥AB，

∴∠DPB=∠C，∠EPC=∠B，

∵P是BC中点，

∴PB=PC，

在△DBP和△EPC中，

，

∴△DBP≌△EPC(ASA)，

∴DP=EC，

∵EC=PE，

∴DP=EP，

∴四边形ADPE是菱形；

(3)P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，

∵PD∥AC,PE∥AB,

∴四边形ADPE是平行四边形，

∵AP平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∵AB∥EP，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AE=EP，

∴四边形ADPE是菱形.