Question

12．如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．下列结论：
①∠ECA=∠BEG；②BE=AE；③EH=$\frac{1}{2}$BF；④EM是⊙O的切线．
其中正确的个数为（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 利用直径所对的圆周角是直角，以及三线合一定理即可判断②BE=AE正确；根据垂径定理可以证得OE⊥BD，然后证明EM∥BD，即可证得：BD⊥OE，则依据切线的判定定理可以证得④EM是⊙O的切线；利用EG是直角三角形的斜边上的高线，则∠BEG=∠ECM，结合∠BCE=∠ACE即可证得①∠ECA=∠BEG；根据等角对等边，可以证得EH=BH，EG=FG即可求证③EH=$\frac{1}{2}$BF．

解答 解：∵BC为直径，
∴∠BEC=90°，即BE⊥EC，
又∵AC=BC，
∴AE=BE，
故②正确；
连接OE．
∵由以上证明过程得到CE是等腰△ABC的中垂线，则∠BCE=∠ECA，故∠BCE=∠DCE，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{DE}$，
∴OE⊥BD，
∵BC是直径，
∴BD⊥AC
又∵EM⊥AC，
∴EM∥BD，
∴EM⊥OE，
∴EM是切线．
故④正确；
∵直角△EBC中，EG⊥BC，
∴∠ECG=∠BEG，
又∵∠BCE=∠ECA，即∠ECG=∠ECA
∴∠ECA=∠BEG．
故①正确；
∵∠EBD=∠ECD（同弧所对的圆周角相等），∠BEG=∠ECA（已证），
∴∠EBH=∠BEH，
∴BH=EH，
∵∠BEG+∠GEC=∠EBD+∠EFB=90°，
∴∠HEF=∠HFE，
∴EH=FH，
∴EH=FH=BH=$\frac{1}{2}$BF，即EH=$\frac{1}{2}$BF．λ
故③正确．
故选：A．

点评 本题考查了圆的综合题．其中涉及到了切线的性质、三线合一定理、圆周角定理、垂径定理等知识点；熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．