Question

【题目】如图，是等腰直角外一点，把绕直角顶点顺时针旋转到，已知，，则的值为________．

Answer 1

【答案】1：2

【解析】

如图，连接AP，构建全等三角形：△ABP≌△CBP′（SAS），由该全等三角形的对应边相等得到AP=P′C；如图，连接PP′，结合已知条件可以推知△APP′是直角三角形，所以由勾股定理来求相关线段的长度即可．

如图，连接AP，

∵BP绕点B顺时针旋转到BP′，

∴BP=BP′,∠ABP+∠ABP′=，

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC,∠CBP′+∠ABP′=，

∴∠ABP=∠CBP′，

在△ABP和△CBP′中，

∵

∴△ABP≌△CBP′(SAS)，

∴AP=P′C，

∵P′A:P′C=1:3，

∴AP=3P′A，

连接PP′,则△PBP′是等腰直角三角形，

∴

∵

∴

∴△APP′是直角三角形，

设P′A=x，则AP=3x，

根据勾股定理,

∴

解得PB=2x，

∴P′A:PB=x:2x=1:2.

故答案为：1:2.