Question

9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=-$\frac{2}{3}$x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax²-5ax-6a（a＜0）经过B、C两点，与x轴交于另一点A．
（1）求a，b的值；
（2）点P在线段AB上，点Q在线段PC的延长线上，过点Q作y轴的平行线，交直线BC于点F，过点Q作y轴的垂线，垂足为点E，交对称轴左侧的抛物线于点D，设点P的横坐标为t，线段QF的长为d，当d与t之间的函数关系式d=-$\frac{2}{3}$t+4时，求D的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接CD，将△CQD沿直线CD翻折，得到△CQ′D，求t为何值时，点Q′恰好落在抛物线上，并求出此时点Q′的坐标以及tan∠DCQ的值．

Answer 1

分析 （1）先求出抛物线与x轴的交点坐标，将点B的坐标代入y=-$\frac{2}{3}$x+b，求出b，从而求出点C的坐标，又将点C坐标代入抛物线解析式中求出a，
（2）先确定出直线PC解析式为y=-$\frac{4}{t}$x+4，设点Q（m，-$\frac{4m}{t}$+4），得到F（m，-$\frac{2}{3}$m+4），而QF=$\frac{2}{3}$m-$\frac{4m}{t}$=d，进而确定出m=-t，
得到Q（-t，8），D的纵坐标为8，代入抛物线解析式，求出横坐标，即可；
（3）依次确定出直线CD解析式为y=2x+4，QQ'的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+8-$\frac{1}{2}$t，设出点Q'的坐标，表示出QQ'的中点坐标代入直线CD解析式中，将Q'的坐标代入抛物线中，联立方程组却出n，t，构造直角三角形求出tan∠HCP即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-5ax-6a=a（x²-5x-6）=a（x+1）（x-6），
∴x₁=-1，x₂=6，对称轴x=$\frac{5}{2}$，
∴A（-1，0），B（6，0），
∵直线y=-$\frac{2}{3}$x+b与x轴交于点B，
∴0=-$\frac{2}{3}$×6+b，
∴b=4，
∴直线y=-$\frac{2}{3}$x+4，
∴C（0，4），
∴a×（-1）×6=4，
∴a=-$\frac{2}{3}$，
（2）由（1）有a=-$\frac{2}{3}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{2}{3}$（x+1）（x-6），
∵B（6，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+4，
设P（t，0），
∵C（0，4），
∴直线PC解析式为y=-$\frac{4}{t}$x+4，
设点Q（m，-$\frac{4m}{t}$+4），
∵QF∥y轴．且在直线BC上，
∴F（m，-$\frac{2}{3}$m+4），
∴d=-$\frac{4m}{t}$+4-（-$\frac{2}{3}$m+4）=$\frac{2}{3}$m-$\frac{4m}{t}$=-$\frac{2}{3}$t+4，
∴m=-t，
∴Q（-t，8），
∵DQ⊥y轴，且点D在抛物线上，
∴-$\frac{2}{3}$（x+1）（x-6）=8，
∴x₁=2，x₂=3＞$\frac{5}{2}$（舍），
∴D（2，8），
（3）延长DC交x轴于H，过点P作PG⊥AC，
 由（2）有C（0，4），D（2，8），
∴直线CD解析式为y=2x+4，
∵△CQD沿直线CD翻折，得到△CQ′D，
∴设QQ'的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
∵（-t，8），
∴8=$\frac{1}{2}$t+b，
∴b=8-$\frac{1}{2}$t，
∴QQ'的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+8-$\frac{1}{2}$t
设点Q'（n，-$\frac{1}{2}$n+8-$\frac{1}{2}$t），
∵点Q′恰好落在抛物线上，
∴-$\frac{2}{3}$（n+1）（n-6）=-$\frac{1}{2}$n+8-$\frac{1}{2}$t①，
∵Q'（n，-$\frac{1}{2}$n+8-$\frac{1}{2}$t），Q（-t，8），
∴QQ'的中点坐标为（$\frac{n-t}{2}$，-$\frac{1}{4}$n-$\frac{1}{4}$t+8）
∵QQ'的中点坐标在直线直线CD上，
∴2×$\frac{n-t}{2}$+4=-$\frac{1}{4}$n-$\frac{1}{4}$t+8①
联立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{t=-2}\end{array}\right.$（∵点Q（2，8）和点D重合∴舍）或$\left\{\begin{array}{l}{n=5}\\{t=3}\end{array}\right.$，
∴P（3，0），Q'（5，4），
∵直线CD解析式为y=2x+4，
∴直线CD与x轴的交点H（-2，0），
∵C（0，4），
∴PH=PC=5，CH=$\sqrt{O{H}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵PG⊥AC，
∴CG=$\frac{1}{2}$CH=$\sqrt{5}$，
根据勾股定理得，PG=$\sqrt{P{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{25-5}$=2$\sqrt{5}$，
∴tan∠DCQ=tan∠HCP=$\frac{PG}{CG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2，

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，折叠的性质，等腰三角形性质，构造直角三角形，三角函数，解本题的关键是求函数解析式，构造直角三角形是解本题的难点．