Question

4．如图，四边形ABCD是正方形，点E在对角线AC上，点F在边CD上，∠BEF=90°
（1）如图①，求证：∠ABE+∠CEF=45°；
（2）如图①，求证：BE=EF；
（3）如图②，作FG⊥AC于G，连接BF，若3AE=2CG，DF=2$\sqrt{2}$，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠BEM=∠NEF，即可得出△BEM≌△FEN，即可得出结论；
（2）由（1）判断出△BEM≌△FEN，即可得出结论；
（3）设出AE=2x，CG=3x，表示出利用勾股定理依次表示出CF=3$\sqrt{2}$x，CD=（3x+2）$\sqrt{2}$，AC=6x+4，CE=4x+4，EN=CN=2（x+1）$\sqrt{2}$，FN=（2-x）$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{2}$×$\sqrt{5{x}^{2}+4x+8}$，得出BF=2$\sqrt{5{x}^{2}+4x+8}$，再用勾股定理表示出BF=2$\sqrt{9{x}^{2}+6x+2}$，即可建立方程求出x，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∴四边形EMCN是正方形，
∴∠CEN=45°
∴AC平分∠BCD，
∴EM=EN，∠NEM=90°
∵∠BEF=90°
∴∠BEM=∠NEF
∵∠BME=∠FNE=90°
∴△BEM≌△FEN，
∴∠BEM=∠FEN，
∵EM∥AB，
∴∠BEM=∠ABE，
∴∠ABE+∠CEF=∠BEM+∠CEF=∠FEN+∠CEF=∠CEN=45°

（2）由（1）知，△BEM≌△FEN，
∴BE=EF；

（3）如图2，设CG=3x，AE=2x，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°，
∵FG⊥AC，
∴∠CGF=90°，
∴FG=CG=3x，
∴CF=3$\sqrt{2}$x，
∴CD=CF+DF=3$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$=（3x+2）$\sqrt{2}$，
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，
∴AC=$\sqrt{2}$CD=6x+4，
∴CE=AC-AE=4x+4，过点E作EN⊥CD于N，
∴EN=CN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=2（x+1）$\sqrt{2}$，
∴FN=CN-CF=（2-x）$\sqrt{2}$，
在Rt△EFN中，根据勾股定理得，EF=$\sqrt{E{N}^{2}+F{N}^{2}}$=$\sqrt{2}$×$\sqrt{5{x}^{2}+4x+8}$，
由（2）知，BE=EF，
∵BE⊥EF，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$EF=2$\sqrt{5{x}^{2}+4x+8}$
在Rt△BCF中，BC=CD=（3x+2）$\sqrt{2}$，CF=3$\sqrt{2}$x，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{9{x}^{2}+6x+2}$，
∴2$\sqrt{5{x}^{2}+4x+8}$=2$\sqrt{9{x}^{2}+6x+2}$，
∴x=-$\frac{3}{2}$（舍）或x=1，
∴BF=2$\sqrt{9{x}^{2}+6x+2}$=2$\sqrt{17}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解（1）（2）的关键是判断出∠BEM=∠NEF，解（3）的关键是利用勾股定理利用勾股定理表示出相关的相等，建立方程求解，是一道中等难度的中考常考题．