Question

20．已知：△ABC是正三角形，且边长为1，点E是直线AB上的一个动点，过点E作BC的平行线交直线AC于点F，将线段EC绕点E旋转，使点C落在直线BC上的点D处；
（1）当点E在△ABC的边AB上时，
①求证：AE=BD；
②设梯形EDCF的面积为S，当S达到最大值时，求∠ECB的正切值．
（2）当点E不在边AB上时，由A、D、E、C四点围成的四边面积能否为$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$？若能，求出AE长；若不能请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①有两种方法，易证明△AEF是正三角形，则AE=AF=EF，再证明△EDB≌△CEF，从而得出AE=BD；
②过点E作EH⊥DC于点H，设AE=x，则得出s与x的函数关系式，根据顶点坐标，得出当x=$\frac{1}{4}$时，S有最大值，求得BE，根据三角函数的定义即可得出∠ECB的正切值；
（2）当点E在BA延长线上，且AE＜1时；当点E在BA延长线上，且AE＞1时；当点E在AB延长线上时．共三种情况，当点E不在边AB上时，由A、D、E、C四点围成的四边面积能为$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$，设AE=x，分以下三种情况讨论：第一种情况：当点E在BA延长线上，且AE＜1时；由（1）第①同理可得AE=BD，S_{四边形ADCE}=S_△BCE-S_△BDA；第二种情况：当点E在BA延长线上，且AE＞1时，S_{四边形AEDC}=S_△BDE-S_△BAC；第三种情况：当点E在AB延长线上时，S_{四边形ADECC}=S_△ADC+S_△EDC；
根据以上三种情况可得出当AE=$\frac{{-1+5\sqrt{5}}}{2}$或5时，由A、D、E、C四点围成的四边面积为$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$．

解答 解：方法一：如图在正ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴△AEF是正三角形，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF，
又∵∠ABC=∠EDB+∠BED═60°，
∠ACB=∠ECB+∠FCE═60°，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∴∠BED=∠FCE，
∴△EDB≌△CEF，
DB=EF，
∴AE=BD；
方法二：：如图，在正ABC中，∠ABC=∠ACB=60°∠ABD=120°，
又∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∴∠BED=∠FCE，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴△AEF是正三角形，∠EFC=180°-∠ACB=120°，
∴△EDB≌△CEF，
DB=EF，
∴AE=BD，
②过点E作EH⊥DC于点H，
设AE=x，则s=$\frac{1}{2}$（EF+DC）×EH=$\frac{1}{2}$（x+x+1）×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（1-x），
=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$x²+$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$x+$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
当x=$\frac{1}{4}$时，有最大值；
此时，EB=$\frac{3}{4}$，则EH=$\frac{{3\sqrt{3}}}{8}$，BH=$\frac{3}{8}$，CH=$\frac{5}{8}$，
tan∠ECB=$\frac{EH}{CH}$=$\frac{{\frac{{3\sqrt{3}}}{8}}}{{\frac{5}{8}}}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$，

（2）当点E在BA延长线上，且AE＜1时；当点E在BA延长线上，且AE＞1时；当点E在AB延长线上时．共三种情况．
当点E不在边AB上时，由A、D、E、C四点围成的四边面积能为$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$，具体解答过程如下：
设AE=x，分以下三种情况讨论：

第一种情况：当点E在BA延长线上，且AE＜1时；由（1）第①同理可得AE=BD，
S_{四边形ADCE}=S_△BCE-S_△BDA
=$\frac{1}{2}$×BE×BC×sin60°-$\frac{1}{2}$×BE×BC×sin60°
=$\frac{1}{2}$×（x+1）×1×sin60°-$\frac{1}{2}$x×1×sin60°
=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$≠$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$，不成立；
第二种情况：当点E在BA延长线上，且AE＞1时；
S_{四边形AEDC}=S_△BDE-S_△BAC
=$\frac{1}{2}$×BE×BD×sin60°-$\frac{1}{2}$×BA×BC×sin60°
=$\frac{1}{2}$×（x+1）×x×sin60°-$\frac{1}{2}$×1×1×sin60°
=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$（x²+x-1）；

由题意得：$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$（x²+x-1）=$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$
解得：x₁=$\frac{{-1+5\sqrt{5}}}{2}$，x₁=$\frac{{-1-5\sqrt{5}}}{2}$（舍去）；

第三种情况：当点E在AB延长线上时；
S_{四边形ADECC}=S_△ADC+S_△EDC
=$\frac{1}{2}$×DC×AM+$\frac{1}{2}$×DC×EN
=$\frac{1}{2}$DC×AE×sin60°
=$\frac{1}{2}$×（x+1）×x×sin60°
=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$（x²+x），
得：$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$（x²+x）=$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$
解得：x₁=5，x₂=-6（舍去）
综上所述，当AE=$\frac{{-1+5\sqrt{5}}}{2}$或5时，由A、D、E、C四点围成的四边面积为$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了几何变换综合题，涉及的知识点等边三角形的判定、全等三角形的判定、二次函数的最值问题和三角函数的定义，综合性强，难度较大，解答时，需要学生具有综合运用知识的能力．