Question

1．如图，在⊙O中，直径AB=4，点C在⊙O上，且∠AOC=60°，连接BC，点P在BC上（点P不与点B，C重合），连接OP并延长交⊙O于点M，过P作PQ⊥OM交$\widehat{AM}$于点Q．
（1）求BC的长；
（2）当PQ∥AB时，求PQ的长；
（3）点P在BC上移动，当PQ的长取最大值时，试判断四边形OBMC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，根据BC=AB•sin60°计算即可．
（2）在Rt△POB中，求出OP，再根据勾股定理即可计算．
（3）因为PQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{P}^{2}}$，OQ是定值，所以OP最小时，PQ最长，所以当OM⊥BC时，OP最短，此时PQ最长，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接AC．

∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=4，
∴BC=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

（2）如图2中，连接OQ．

∵PQ∥AB，PQ⊥OM，
∴OM⊥AB，
∴∠POB=90°，∵∠B=30°，
∴OP=OB•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△OPQ中，PQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

（3）如图3中，

∵PQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{P}^{2}}$，OQ是定值，
∴OP最小时，PQ最长，
∴当OM⊥BC时，OP最短，此时PQ最长，PQ=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴PQ的最大值为$\sqrt{3}$．
此时四边形OBMC为菱形．
理由：连接BM、CM．
∵OM⊥BC，OC=OB，
∴∠POB=∠POC=60°，
∵OB=OM=OC，
∴△OMB，△OCM是等边三角形，
∴OC=OB=BM=CM，
∴四边形OBMC是菱形．

点评 本题考查圆综合题、锐角三角函数、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．