Question

14．如图，等边三角形ABC的边长为6，点E、点F分别是AC、BC边上的点，连接AF，BE交于点P．给出以下判断：
①当AE=CF时，∠EPF=120°；
②当AE=BF时，AF=BE；
③若BF：CF=2：1且BE=AF时，则CE：AE=2：1；
④当AE=CF=2时，AP•AF=12．
其中一定正确的是①②④（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

分析 由△ABC是等边三角形，得到AB=AC=6，∠BAC=∠C=60°，证得△ABE≌△CAF，得到∠ABE=∠CAF，由外角的性质得到∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠EAP+∠BAP=60，于是得到∠EPF=120°，故①正确；当AE=BF时，同理可证△ABF≌△ABE，得到BE=AF，故②正确；由BE=AF，可得△ABE≌AFC或△ABE≌△ABF，推出CE：AE=2：1或CE：AE=1：2，故③错误；由全等三角形和相似三角形推出AP•AF=AC•AE=12．故④正确．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=6，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE与△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠C}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF，
∴∠ABE=∠CAF，
∴∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠EAP+∠BAP=60∴，
∴∠EPF=120°，故①正确；
当AE=BF时，同理可证△ABF≌△ABE，
∴BE=AF，
故②正确；
若BF：CF=2：1且BE=AF时，
可得△ABE≌AFC或△ABE≌△ABF，
∴CE：AE=2：1或CE：AE=1：2，
故③错误；
∵△ABE≌△CAF，
∴∠AEB=∠AFC，
∴△AEP∽△AFC，∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AE}{AF}$，
∴AP•AF=AC•AE=12．
故④正确；
故答案为：①②④．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，找准全等三角形是解题的关键．