Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点D是 上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DFDB；
（3）在（2）的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠EAB+∠ABE=90°，

∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，

∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线

（2）证明：∵BD平分∠ABE，

∴∠1=∠2，

而∠2=∠AED，

∴∠AED=∠1，

∵∠FDE=∠EDB，

∴△DFE∽△DEB，

∴DE：DF=DB：DE，

∴DE2=DFDB

（3）解：连结OD，如图，

∵OD=OB，

∴∠2=∠ODB，

而∠1=∠2，

∴∠ODB=∠1，

∴OD∥BE，

∴△POD∽△PBE，

∴ = ，

∵PA=AO，

∴PA=AO=BO，

∴ = ，即 = ，

∴PD=4．

【解析】（1）利用圆周角定理得到∠AEB=90°，∠EAB=∠BDE，而∠BDE=∠CBE，则∠CBE+∠ABE=90°，则根据切线的判定方法可判断BC是⊙O的切线；（2）证明△DFE∽△DEB，然后利用相似比可得到结论；’（3）连结DE，先证明OD∥BE，则可判断△POD∽△PBE，然后利用相似比可得到关于PD的方程，再解方程求出PD即可．本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和切线的判定方法；运用相似三角形的判定和性质解决线段之间的关系．通过相似比得到PD的方程可解决（3）小题．