Question

如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为

3

，DE=3，求AE．

Answer 1

分析：（1）根据切线的判定定理只需证明OE⊥DE即可；
（2）根据（1）中的证明过程，会发现BC=2DE，根据勾股定理求得AC的长，进一步求得直角三角形斜边上的高BE，最后根据勾股定理求得AE的长．

解答：解：（1）证明：连接OE，BE，
∵AB是直径．
∴BE⊥AC．
∵D是BC的中点，
∴DC=DB．
∴∠DBE=∠DEB．
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OED=90°．
∴DE是⊙O的切线．

（2）法1：∵∠ABC=90°，AB=2

3

，BC=2DE=6，
∴AC=4

3

．
∴BE=3．
∴AE=

3

；
法2：∵AC=

AB2+BC2

=

(2 3 )2+62

=4

3

（8分）
∴BE=

AB•BC

AC

=

2 3 •6

4 3

=3（10分）
∴AE=

AB2-BE2

=

12-9

=

3

．（12分）

点评：此题主要考查切线的判定及勾股定理等知识点的综合运用．