Question

如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．

(1)证明：∠CAE＝∠CBF；

(2)证明：AE＝BF；

(3)以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G)，记△ABC和△ABG的面积分别为S_△ABC和S_△ABG，如果存在点P，能使得S_△ABC＝S_△ABG，求∠C的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵△是等腰△，是底边上的高线，∴， 　　又∵，∴△≌△， 　　∴，即；　3分 　　(2)∵，，， 　　∴△≌△，∴；　3分 　　(3)由(2)知△是以为底边的等腰△，∴等价于， 　　1)当∠为直角或钝角时，在△中，不论点在何处，均有，所以结论不成立； 　　2)当∠为锐角时，∠，而，要使，只需使∠＝∠，此时，∠180°－2∠， 　　只须180°－2∠∠，解得60°∠90°．　4分 　　(也可在中通过比较和的大小而得到结论)