Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连结AF、BD.
(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.

Answer 1

（1）猜想：AF=BD且AF⊥BD.
　　　 证明：设AF与DC交点为G.
　　　 ∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
　　　 ∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
　　 　∴∠BCD=∠ACF.
　　 　∴△ACF≌△BCD.
　　　 ∴AF=BD.，∠AFC=∠BDC.
　　　 ∵∠AFC+∠FGC="90°," ∠FGC=DGA，
　　 　∴∠BDC+∠DGA=90°.
　　 　∴AF⊥BD.
　　 　∴AF=BD且AF⊥BD.
　　 　(2)如图，结论：AF=BD且AF⊥BD.
图形不惟一，只要符合要求即可．
如：图1中CD边在△ABC的内部；图2中CF边在△ABC的内部.

解析