Question

17．如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE．

（1）若AF是△ABE的中线，且AF=5，AE=6，连接DF，求DF的长；
（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G．
①如图2，若点E是AC的中点，连接EG，求证：AG+EG=BE；
②如图3，若点E是AC边上的动点，连接DF．当点E在AC边上（不含端点）运动时，∠DFG的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG的度数；如果要变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质可求得BE，在Rt△ABE中可求得AB，则可知AC长，再利用中位线定理可求得DF；
（2）过点C作CM⊥AC交AG延长线于点M，易证△ABE≌△CAM，可得AE=CM，∠AEB=∠M，AM=BE，即可证明△EGC≌△MCG，可得EG=GM，于是问题得证；
（3）过点D作DN⊥DF，交AG的延长线于点N，根据条件可证明△BDF≌△ADN，可证明DF=DN，可证△DFN为等腰直角三角形，可求得∠DFG的度数．

解答 解：（1）在Rt△ABE中，AF是中线，
∴AF=$\frac{1}{2}$BE，
∵AF=5，
∴BE=10，
在Rt△ABE中，AE=6，BE=10，可求得AB=8，
又∵AB=AC，∴AC=8，
∴CE=AC-AE=2，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
又∵点F是BE的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$CE=1；
（2）如图1，过点C作CM⊥AC，交AG的延长线于点M，则∠ACM=90°，

又∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠ACM，
∵AF是△ABE的高，
∴∠AFB=90°，
∴∠1+∠BAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠BAF=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△CAM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠ACM}\\{AB=AC}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴AE=CM，BE=AM，
又点E是AC边的中点，
∴CE=AE=CM，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
又∵∠ACM=90°，
∴∠MCG=45°=∠ACB，
在△CEG和△CMG中
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CM}\\{∠ECG=∠MCG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$
∴△CEG≌△CMG（SAS），
∴EG=GM，
又BE=AM，
∴AG+EG=AG+GM=AM=BE；
（3）如图2，过点D作DN⊥DF，交AG的延长线于点N，则∠NDF=90°，

∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°=∠NDF，
∴∠ADB+∠ADF=∠NDF+∠ADF，即∠BDF=∠ADN，
∵∠ADB=∠AFB=90°，∠5=∠6，
∴∠3=∠4，
在Rt△ABC中，BD=DC，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=BD，
在△BDF和△ADN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠ADN}\\{BD=AD}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADN（ASA），
∴DF=DN，
又∠NDF=90°，
∴∠DFN=∠DNF=45°，
即∠DFG=45°．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理及中位线定理等．在（2）、（3）问中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，特别是第（2）、（3）问难度很大．